New PDF release: Algebre commutative : Chapitres 1 a 4

By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 354033937X

ISBN-13: 9783540339373

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N - Soient B un a n n e a u et A u n sous-anneau de B [el que B soit u n A-module à droite lidèlement plat. P o u r q u ' u n A-module à gauche F soit de type fini (resp. de présentation finie), il faut et il s u f i t que le B-module B @A F soit de type fini (resp. de présentation finie). 10 Sans hypothèse sur B, il est clair que si F est un A-module à gauche de type fini, B RAF est un B-module à gauche de type fini. Inversement, si B @A F est un B-module de type fini, il est engendré par un nombre fini d'éléments de la forme 1@xi avec xt E F ; si M est le sous-A-module de F engendré par les xi, et j l'injection sanonique M -t F, 1 B @ j : B @AM -+ B @a F est un homomorphisme surjectif, donc j est surjectif (no 1, prop.

F,(,,) de f,(x;, xi) ; par linéarité, ccla est encore vrai pour tout xi :;E El(,,); le noyau de u: étant T(,), la proposition est démontrée. -+ C O I ~ O L L A I1. R E- Soient A, n deux anneaux commutatifs, p : A + B rin Aonsonzorphisme tel que B soit un A-module plat, E un A-modiile de pr~senlalionfinie. Pour tout sous-module de type fini F de E l I'orthogonnl de F(,,)dans le dual de Eo,, est égal à en désignant par F' l'orthogonal de F dans le dual E* de E. Il résulte dc la prop. 11 que (E*)(,,) est canoniquement isomorplic a u dual (E(,,))* dc E(,,).

Chap. , 9 2, exerc. 11) et si E est de présentation finie, o est bijectif. ) 7 15) Soit A un anneau. Montrer que tout A-module à gauche E qui est plat et de présentation finie est projectif. (Étant donné un homomorphisme surjectif u : F + F" de A-modules à gauche, soit ur l'homomorphisme Hom (l, u),: Hom, (E, F) -+ Hom, (E, Fu), et ü l'homomorphisme Hom (u', 1,) : Hom, (Hom, (E, F"), G) 4 Hom, (Hom, (E, F), G), où G est un Z-module divisible. E n utilisant d'abord l'exerc. , chap. , 5 2, exerc.

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Algebre commutative : Chapitres 1 a 4 by Nicolas Bourbaki


by Richard
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