Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre: Vorlesung, by K. Weierstraß (auth.) PDF

By K. Weierstraß (auth.)

ISBN-10: 3322004783

ISBN-13: 9783322004789

ISBN-10: 3322912736

ISBN-13: 9783322912732

Als Schüler von KARL WEIERSTRASS zu Beginn unseres Jahrhunderts an der Ausgabe der Werke ihres Lehrers arbeiteten, ging es ihnen vor allem darum, den nachfolgenden Generationen den Schatz der unveröffentlichten Weierstraßschen Vorlesungen über elliptische und Abelsche Funktionen sowie über Variationsrechnung zu überliefern. Daß die Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie nicht in den Editionsplan auf­ genommen wurden, dürfte nicht zuletzt auch damit im Zusammenhang gestanden haben, daß deren Wirkung bereits allenthalben erkennbar und unwiderruflich warfare. used to be den Zeitgenossen von WEIERSTRASS nicht erforderlich schien, will uns heute UD­ verzichtbar scheinen, wenn wir uns als Historiker und als Mathematiker der großen Gestalt von KARL WEIERSTRASS nähern wollen. used to be aber den Zeitgenossen noch recht leicht gefallen wäre - eine möglichst exakte historische Dokumentation des Weierstraß­ schen Beitrages zur strengen Begründung der research -, erfordert heute einen erhöhten Aufwand an geistiger Arbeit, bedingt einen kritischen Vergleich der nur bruchstückhaft auf uns gekommenen und zumeist nicht autorisierten Nachschriften, ein Einfühlen in die persönlichen und wissenschaftlichen Umstände des Weierstraßschen Wirkens. Die allgemein anerkannte prägende Bedeutung des Weierstraßschen Grundlagen­ beitrages für die moderne Mathematik widerspiegelt sich bisher in der internationalen mathematikhistorischen Literatur nur unzureichend. Es ist deshalb sehr zu begrüßen, daß es der Herausgeber mit der version der von WEIERSTRASS nur einmal gehaltenen Vorlesung "Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre" (1886) unternommen hat, jene Lücke schließen zu helfen.

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Aus den aufgestellten Definitionen ergibt sich weiter, daß i 2 = e' ist. Gegen eine solche auf geometrischer Unterlage basierende Definition läßt sich nun zwar nichts einwenden, aber da es etwas umständlich ist, aus den vorausgeschickten Definitionen die Gültigkeit der gewöhnlichen Operationen abzuleiten, so wird man sich 52 K. WEIERSTRASS, Funktionenlehre von der geometrischen Betrachtung frei zu machen suchen, so nützlich diese auch für die Versinnlichung der erlangten Resultate sein mag. Man kann zu diesem Zweck von zwei beliebigen Einheiten e und i und deren entgegengesetzten e' und i' ausgehen; alsdann bleiben für Addition und Subtraktion ohne weiteres die alten Regeln bestehen; da bei der MUltiplikation natürlich auch die Regel gültig bleiben muß, daß man Summen multipliziert, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der andern Summe zu multiplizieren und alsdann von diesen LTeilprodukten7 die Summe zu bilden hat, so kommt es hier nur auf die Definition der MUltiplikation der Einheiten an.

Ist nämlich g eine Reihe verschiedener Vorstellungen a, ß, y, ••• , so bildet·man sich derart eine Vorstellung, daß man die Einzeldinge in bestimmter Weise aufeinanderfolgen läßt. Wir erhalten so eine wohl geordnete Menge von Dingen, die als solche in den Größenbegriff fällt. 32 Diese Größe ist veränderlich in dem Sinne, daß jedes Element a, ß, y, ••. in verschiedener Anzahl vorhanden sein kann. Bei jeder Hinzufügung eines beliebigen Elementes zu der genannten Größe bleibt der Begriff des Aggregates vOllständig unverändert, genau so, wie der Begriff einer Geraden durch Hinzufügung einer weiteren Länge nicht alteriert wird.

Wir stellen zwei Reihen von Größen auf a, a2 a3 av b, b2 b3 bv wo a, > a 2 > a 3 . im (an' .. b n ) n=m ... = , ... , und zwar soll sein Ca ••• b) • Alsdann liegen, wie man sieht, alle Intervalle Cav ••• b v ) innerhalb Ca ••• b). Jetzt brauchen wir nur die Funktion Gv(x) so zu definieren, daß If(x) - Gv(x) I < gv' wenn a v < x < b v ; dann können wir ohne weiteres die früheren Schlußweisen auf den vorliegenden Fall anwenden. Definieren wir fv(x) wie oben, so können wir nämlich zeigen, daß ~ f (x) = Y.

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Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre: Vorlesung, gehalten in Berlin 1886 Mit der akademischen Antrittsrede, Berlin 1857, und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86 by K. Weierstraß (auth.)


by Mark
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