Bewertung inhomogener fraktaler Strukturen und Skalenanalyse by Uwe Müssigmann PDF

By Uwe Müssigmann

ISBN-10: 3540557962

ISBN-13: 9783540557968

ISBN-10: 3642479502

ISBN-13: 9783642479502

Die vorliegende Arbeit entstand wiihrend meiner Tii.tigkeit als wissenschaftlicher Mitar beiter am Fraunhofer Institut fiir Produktionstechnik und Automatisierung, Stuttgart. Mein Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. H.-J. Warnecke fiir die groBziigige Unterstiitzung und Forderung meiner Arbeit, Herm Prof. Dr.rer.nat B. Fiedler fiir die griindliche Durchsicht und die daraus resultierenden Hinweise. Dariiberhinaus danke ich allen Mitarbeitem des Instituts, die mich durch ihre anregende Kritik und Diskussion unterstiitzt haben, insbesondere Herm Dr. Manfred Schmutz. Wesentlich zum Entstehen und Gelingen dieser Arbeit hat Herr Dr. Manfred Rueff beigetragen, der durch seinen iiberraschenden Tod die Ferligstellung der Arbeit leider nicht erlebt hat. Ihm mochte ich diese Arbeit widmen. Stuttgart, Mai 1992 Uwe Miissigmann o Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung eleven 2 Maf3e und Dimensionen 17 33 three Fraktale Geometrie forty nine four Fraktalanalyse: Grundlagen und Methoden five Bildverarbeitung und Texturanalyse sixty nine 6 Zusammenfassung ninety five ninety seven 7 Literatur 1 Einleitung Eine der faszinierendsten Technologien, die die Entwicklung der laptop in den letzten Jahren mit sich gebracht hat, ist die Bildverarbeitung. Das maschinelle Sehen hat sich in kiirzester Zeit dank dieser Entwicklung viele neue Einsatzfelder erschlieBen konnen. Insbesondere profitierte die Bildverarbeitung von der starken Zunahme der Speicherka pazitaten und Erhohung der Rechenleistungsfahigkeit bei sinkenden Rechnerkosten. Mit heute zur Verliigung stehender konnen so Aufgabenstellungen angegangen wer den, deren Komplexitat vor kurzem noch nicht an den Einsatz von Bildverarbeitungs systemen denken lieB. Heute ist dies anders, da auch anspruchsvolle, rechenintensive informationstheoretische Konzepte in Rechnern realisiert und so zur Losung solcher Auf gaben eingesetzt werden konnen.

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_ . .. . _---------­ ------------ Während der letzten zehn Jahre konnte :man eine Neubelebung des Interesses für die Potentialtheorie beobachten. Zwei Ursachen lassen dies verständlich erscheinen: Einmal die innere Weiterentwicklung der Potentialtheorie. welche nach der Erfassung möglichst umfangreicher Klassen von Differentialgleichungen und Kernen drängt, zum anderen die Entwicklung der Theorie der Markoffschen Prozesse und der vor allem durch die bahnbrechende Arbeit von G.

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_1. ~ r-" (, ~ ....... " ~ ( I~ ~ Bild 6: GleichmiiBige diskrete Approximation In Bild 7 ist eine gleichmaBige diskrete Approximation der Kochkurve dargestellt. - 52- Bild 7: GleichmiiBige diskrete Approximation der Kochkurve Ein Hauptproblem bei einer numerischen Fraktalanalyse ist die Extraktion geeigneter GroBen aus einer hinreichend feinen diskreten Approximation A(r), die einen RiickschluB auf die Fraktalitiit des Objekts A gestatten. Die gebrochene Dimension bzw. das asymptotische (Skalen-) Verhalten fiir IJ -+ 0 laBt einen solchen RiickschluB sicherlich nicht zu, da die Approximation A(r) als endliche Punktmenge unabhiingig von dem eigentlichen Fraktal die Dimension 0 besitzt.

D(z, y) fUr aile z, y aus X, so heifit Seine Selbstiihnlichkeitsabbildung; r wird als Lipschitzkonstante der Kontraktionsabbildung S bezeichnet. Definition Sei (X,d) wie oben, S = {Sl, ... ,SK} eine Menge von Kontraktionsabbildungen. - Eine Menge A ~ X heifit invariant bzgl. S, wenn gilt K A= US;(A). i=l - Sind die Kontraktionsabbildungen Selbstiihnlichkeitsabbildungen und ist A invariant bzgl. S und existiert weiterhin eine nichtnegative Zahl s mit 1{S(A) > 0 und 1{s (S;(A) n Sj(A)) = 0 fiir i i- j, so heifit A selbstiihnlich.

_;)2 2a duo Jedes Folgenglied hiingt von der jeweiligen Standardabweichung u ab, die hier als Skalenparameter dient (siehe Bild 11). Bild 11: Folge von Gau6-geglatteten Signalen - 59- Die Bestimmung der lokalen Extrempunkte dieser Folge von Signalen fuhrt zum sogenannten "Fingerabdruck" des Ursprungssignals (Bild 12). Bild 12: Fingerabdruck des Signals Jeder Punkt innerhalb dieser Darstellung bezeichnet einen Extrempunkt zum Zeitpunkt t und Skala u. f3t werden konnen, liegt es nahe, hiermit analog zur "Coastline-of-Britain Analysis" eine Skalenuntersuchung im Sinne der Fraktalen Geometrie durchzufuhren [26].

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by Donald
4.2

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